Question

已知數列滿足：,,為公差為4等差數列.數列的前n項和為,且滿足  .
①求數列的通項公式;
②試確定的值,使得數列是等差數列；
③設數列滿足：,若在與之間插
入n個數，使得這個數組成一個公差為的等差數列. 
求證：……。

Answer 1

①②1③見解析

本試題主要是考查了等差數列的通項公式的運用以及數列求和中錯位相減法的綜合運用。
（1）因為為公差為4等差數列.∴
∵  ∴    可知其通項公式。
（2）
由
得到，分析數列
（3）由上可知

故，利用裂項求和的思想得到結論。
解：①∵為公差為4等差數列.∴
∵  ∴    ∴
∵ ∴.………………4分
②   ,
得,…………6分
∴ ∴
∴…………………7分
若為等差數列，則
∴……………………8分
③依題意=,
∴ ,……………………8分
則，由題知：
，則.……………10分
由上知：，
所以
，
所以…………12分
，
所以.……………………14分