Question

已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率。
（1）求橢圓方程；
（2）一條不與坐標軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN中點的橫坐標為–，求直線l傾斜角的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）設橢圓方程為
由已知，，由解得a=3，   
∴為所求 
（Ⅱ）解法一：設直線l的方程為y=kx+b(k≠0)
解方程組
將①代入②并化簡，得 
       
將④代入③化簡后，得。                           
解得   ∴ ， 所以傾斜角  。                            
解法二：（點差法）設的中點為在橢圓內，且直線l不與坐標軸平行。
因此，，
∵，
∴兩式相減得 
即  
∴。所以傾斜角
點評：典型題，涉及直線與橢圓的位置關系問題，通過聯立方程組得到一元二次方程，應用韋達定理可實現整體代換，簡化解題過程。涉及橢圓上兩點問題，可以利用“點差法”，建立連線的斜率與a,b的關系。