Question

【題目】如果存在非零常數，對于函數定義域上的任意，都有成立，那么稱函數為“函數”．

（Ⅰ）若，，試判斷函數和是否是“函數”？若是，請證明：若不是，主說明理由：

（Ⅱ）求證：若是單調函數，則它是“函數”；

（Ⅲ）若函數是“函數”，求實數滿足的條件．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）是“函數”, 不是“函數”.理由見解析;（Ⅱ）證明見解析;（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根據定義,代入解析式解不等式,分析是否存在C使得不等式恒成立,即可判斷是否是“函數”.

（Ⅱ）討論函數單調遞增與單調遞減兩種情況,結合函數單調的性質即可證明是 “函數”；

（Ⅲ）根據題意可知為單調函數.代入后變形,可得關于的一元二次不等式,結合二次函數恒成立的解法,即可求得的取值范圍.

（Ⅰ）是“函數”, 不是“函數”.理由如下:

若是“函數”

則滿足

即,所以

解得,

即存在使是“函數”

若是“函數”

則滿足

即,化簡得

當時,不能恒成立

當時,不能恒成立,

綜上可知,不是“函數”

（Ⅱ）證明:因為是單調函數,則為單調遞增函數或單調遞減函數.

若是單調遞增函數,則當時,都有成立,函數為“函數”

若是單調遞減函數,則當時,都有成立,函數為“函數”

綜上可知,當為單調函數時,則它是“函數”

（Ⅲ）若函數是“函數”,

由，

則

化簡可得恒成立

由二次函數性質可知滿足

解得

所以或

即時,總存在C滿足函數是“函數”

所以滿足的條件為