Question

．（本小題滿分14分）
已知數列的相鄰兩項是關于的方程 的兩實根，且，記數列的前項和為.
（1）求；
（2）求證：數列是等比數列；
（3）設，問是否存在常數，使得對都成立，若存在，
求出的取值范圍，若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)，
(2)略
(3)

解：（1）證明：因為，是關于的方程的兩實根，
所以.                                         …………1分
又因為，所以，，.                        …………3分（2）    ………… 6分
故數列是首項為，公比為的等比數列. ………… 7分
（3）由（2）得，
即,
                                          …………9分
又，
要使，對都成立，
即（*）………10分
①當為正奇數時，由（*）式得：
,
即,
對任意正奇數都成立，
故為正奇數）的最小值為1.
                                                …………12分
②當為正偶數時，由（*）式得：
，
即，
對任意正偶數都成立，
故為正偶數）的最小值為
                                               …………13分
綜上所述得，存在常數，使得對都成立，
的取值范圍為.                                   …………14分