Question

【題目】已知四棱錐中，平面平面ABCD，且，E為PA的中點.

（Ⅰ）求證：平面PBC；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連結，，推導出四邊形為平行四邊形，從而，由此能證明平面．

（Ⅱ）取的中點，連結，，以，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

證明：（Ⅰ）取的中點，連結，，

由已知得為的中點，，，

又，，，，

四邊形為平行四邊形，

，又平面，平面，

平面．

（Ⅱ）取的中點，連結，，

因為，

所以，又平面平面ABCD，所以平面ABCD，

所以，由已知得，

以OD，OB，OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

設，故，

所以.

設平面EBD的法向量為，則，

又，

所以，取，即.

又平面BDC的法向量為， ，，，

所以.

又二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.