Question

集合A是由適合以下性質的函數f（x）構成的，對于任意的x＞0  y＞0且x≠y都有f（x）+2f（y）＞3f
（1）試判斷f₁（x）=log₂x及f₂（x）=（x+1）²是否在集合A中？并說明理由
（2）設f（x）∈A，且定義域是（0，+∞），值域是（1，2），，寫出一個滿足上述條件的解析式；并證明此函數f（x）∈A．

Answer 1

【答案】分析：（1）集合A是由函數f（x）構成的，把f₁（x）=log₂x及f₂（x）=（x+1）²代入條件進行檢驗；
（2）從第一個結論的提示，從定義域值域和不等關系找出一個適合條件的解析式．
解答：解：
（I）取x=1，y=4則
f₁（1）+2 f₁（4）=log₂1+2log₂4=log₂16，
＞log₂16
∴f₁（x）+2 f₁（y）＜
∴f₁（x）∉A
任取x＞0，y＞0且x≠y，研究
f₂（x）+2 f₂（y）-=（x+1）²+2（y+1）²-3
=＞0
∴f₂（x）+2 f₂（y）＞．
∴f₂（x）∈A

（II）設函數f（x）=，x∈（0，+∞），滿足其值域（1，2）
且f（1）＞
又任意取x＞0，y＞0且x≠y，則
f（x）+2 f （y）=
=＞=3[]
=3f（）
∴f（x）∈A
點評：本題是一道難度較大的題，表現在以下幾個方面第一需要自己根據條件寫出解析式，再進行驗證．第二題目給出一個抽象函數不等式要求學生檢驗兩個已知函數式是否滿足條件，進而驗證這兩個函數是否是集合的元素，運算量較大，其中用到基本不等式，這個過程不好配湊．