Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n；且向量

a

=(n，Sn)，

b

=(4，n+3)共線．
（1）求證：數列{a_n}是等差數列；
（2）求數列{

1

nan

}的前n項和T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）利用向量

a

=(n，Sn)，

b

=(4，n+3)共線．得到n（n+3）-4S_n=0，根據和與項的關系得證．
（2）由（1）求出a_n=1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

進一步求出

1

nan

=

2

(n+1)n

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項求和的方法求出和
T_n．

解答：解：（1）∵

a

=(n，Sn)，

b

=(4，n+3)共線，
∴n（n+3）-4S_n=0，
∴Sn=

n(n+3)

4

∴a1=S1=1，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

n+1

2

，又a1=1滿足此式，
∴an=

n+2

2

∴an+1-an=

1

2

為常數，
∴數列{a_n}為等差數列
（2）由（1）得a_n=1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

所以

1

nan

=

2

(n+1)n

=2(

1

n

-

1

n+1

)
∴Tn=

1

a1

+

1

2a2

+…+

1

nan

=2(1-

1

2

)+2(

1

2

-

1

3

)+…+2(

1

n

-

1

n+1

)=

2n

n+1

=2-

2

n+1

＜2

點評：求數列的前n項和，應該先求出數列的通項，根據通項的特點選擇合適的求和方法．