Question

已知f(x)=

1

4x+2

(x∈R)，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函數y=f（x）圖象上兩點，且線段P₁P₂中點P的橫坐標是

1

2

．
（1）求證點P的縱坐標是定值； 
（2）若數列{a_n}的通項公式是an=f(

n

m

)（m∈N^*），n=1，2…m），求數列{a_n}的前m項和S_m； 
（3）在（2）的條件下，若m∈N^*時，不等式

am

Sm

＜

am+1

Sm+1

恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

x1+x2

2

=

1

2

知，x₁+x₂=1，故y₁+y₂=

1

4x1+2

+

1

41-x1+2

，由此能夠證明點P的縱坐標是定值．
（2）已知S_m=a₁+a₂+…+a_m=f(

1

m

)+f(

2

m

)+…+f(

m-1

m

)+f(1)，利用倒序相加法能夠求出數列{a_n}的前m項和S_m．
（3）由

am

Sm

＜

am+1

Sm+1

，得12a^m（

1

3m-1

-

a

3m+2

）＜0對m∈N⁺恒成立．由此利用分類討論思想能夠求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）由

x1+x2

2

=

1

2

知，x₁+x₂=1，則
y₁+y₂=

1

4x1+2

+

1

4x2+2

=

1

4x1+2

+

1

41-x1+2

=

1

4x1+2

+

4x1

2(4x1+2)

=

1

2

，
故點P的縱坐標是

1

4

，為定值．
（2）已知S_m=a₁+a₂+…+a_m
=f(

1

m

)+f(

2

m

)+…+f(

m-1

m

)+f(1)，
又S_m=a_m-1+a_m-2+…+a₁+a_m
=f（

m-1

m

）+f（

m-2

m

）+…+f（

1

m

）+f（1）
二式相加，得
2Sm=[f(

1

m

)+f(

m-1

m

)]+[f(

2

m

)+f(

m-2

m

)]+…+[f(

m-1

m

)+f(

1

m

)]+2f(1)，
因為

k

m

+

m-k

m

=1，(k=1，2，…m-1），故f(

k

m

)+f(

m-k

m

)=

1

2

，
又f（1）=

1

4+2

=

1

6

，從而Sm=

1

12

(3m-1)．（12分）
（3）由

am

Sm

＜

am+1

Sm+1

，
得12a^m（

1

3m-1

-

a

3m+2

）＜0…①對m∈N⁺恒成立．
顯然，a≠0，
（ⅰ）當a＜0時，由

1

3m-1

-

a

3m+2

＞0，得a^m＜0．
而當m為偶數時a^m＜0不成立，所以a＜0不合題意；
（ⅱ）當a＞0時，因為a^m＞0，
則由式①得，a＞

3m+2

3m-1

=1+

3

3m-1

．
又

3

3m-1

隨m的增大而減小，
所以，當m=1時，1+

3

3m-1

有最大值

5

2

，故a＞

5

2

．（18分）

點評：本題考查點的縱坐標是定值的證明，考查數列的前n項和的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意倒序相加法、分類討論思想的靈活運用．