Question

（2012•韶關一模）已知函數f(x)=log

2

x，且數列{f（a_n）}是首項為2，公差為2的等差數列．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）設b_n=a_n•f（a_n），求數列{b_n}的前n項和S_n的最小值..

Answer 1

分析：（1）根據函數f(x)=log

2

x，且數列{f（a_n）}是首項為2，公差為2的等差數列，可得an=2n，從而可得數列{a_n}是等比數列；
（2）寫出通項，利用錯位相減法求和，確定其單調性，即可求得數列{b_n}的前n項和S_n的最小值．

解答：（1）證明：∵函數f(x)=log

2

x，且數列{f（a_n）}是首項為2，公差為2的等差數列．
∴log

2

an=2+（n-1）×2=2n
∴an=2n
∵

an+1

an

=2
∴數列{a_n}是等比數列；（7分）
（2）解：由（1）知，bn=an•f(an)=n•2n+1．…（8分）
∴Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，①
2Sn=1•23+2•24+3•25+…+n•2n+2②…（10分）
②-①，得Sn=-22-23-24-…-2n+1+n•2n+2=-

22(1-2n)

1-2

+n•2n+2
∴Sn=(n-1)2n+2+4…（12分）
∵S_n+1-S_n=（n+1）×2ⁿ⁺²＞0
∴{S_n}是遞增數列，所以S_n的最小值等于S₁=4…（14分）

點評：本題考查等比數列的證明，考查錯位相減法求數列的和，考查單調性，解題的關鍵是確定數列的通項，屬于中檔題．