Question

已知函數y=f（x）是R上偶函數，且對于?x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當x₁，x₂∈[0.3]，且時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．對于下列敘述；
①f（3）=0；     
②直線x=-6是函數y=f（x）的一條對稱軸；
③函數y=f（x）在區間[-9，-6]上為增函數；    
④函數y=f（x）在區間[-9，9]上有四個零點．
其中正確命題的序號是（　　）

A．①②③

B．①②

C．①②④

D．②③④

Answer 1

分析：分析4個命題，對于①，在用特殊值法，將x=-3代入f（x+6）=f（x）+f（3）中，變形可得f（-3）=0，結合函數的奇偶性可得f（3）=f（-3）=0，可得①正確；對于②，結合①的結論可得f（x+6）=f（x），即f（x）是以6為周期的函數，結合函數的奇偶性可得f（x）的一條對稱軸為y軸，即x=0，可得直線x=-6也是函數y=f（x）的一條對稱軸，可得②正確；對于③，由題意可得f（x）在[0，3]上為單調增函數，結合函數是偶函數，可得f（x）在[-3，0]上為減函數，又由f（x）是以6為周期的函數，分析函數y=f（x）在區間[-9，-6]的單調性可得③錯誤；對于④，由①可得，f（3）=f（-3）=0，又由f（x）是以6為周期的函數，則f（-9）=f（9）=0，即函數y=f（x）在區間[-9，9]上有四個零點，④正確；綜合可得答案．

解答：解：根據題意，依次分析命題，
對于①，在f（x+6）=f（x）+f（3）中，令x=-3可得，f（3）=f（-3）+f（3），即f（-3）=0，
又由函數y=f（x）是R上偶函數，則f（3）=f（-3）=0，則①正確；
對于②，由①可得，f（3）=0，又由f（x+6）=f（x）+f（3），
則有f（x+6）=f（x），即f（x）是以6為周期的函數，
又由函數y=f（x）是R上偶函數，即f（x）的一條對稱軸為y軸，即x=0，
則直線x=-6也是函數y=f（x）的一條對稱軸，②正確；
對于③，由當x₁，x₂∈[0，3]，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，可得f（x）在[0，3]上為單調增函數，
又由函數y=f（x）是R上偶函數，則f（x）在[-3，0]上為減函數，
又由f（x）是以6為周期的函數，則函數y=f（x）在區間[-9，-6]上為減函數，③錯誤；
對于④，由①可得，f（3）=f（-3）=0，
又由f（x）是以6為周期的函數，則f（-9）=f（-3）=0，f（9）=f（3）=0，
即函數y=f（x）在區間[-9，9]上有四個零點，④正確；
正確的命題為①②④；
故選C．

點評：本題考查抽象函數的應用，涉及函數奇偶性，單調性的應用；關鍵是根據題意，分析出f（x）的周期性、單調性以及f（3）的值．