Question

已知函數f（x）=x²-3ax+1，g(x)=log4(x2+2x+3)．
（1）求函數g（x）的值域；
（2）求函數f（x）在[a，+∞）上的最小值；
（3）若對于任意的x₁∈[a，+∞），都存在x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要求函數f（x）的值域，只要求t=x²+2x+3最小值，進而可求函數的值域；
（2）先配方得到函數的對稱軸，將對稱軸移動，討論對稱軸與區間[a，+∞）的位置關系，合理地進行分類，從而求得函數的最小值；
（3）對于任意x₁∈[a，+∞），總存在x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立轉化為f（x）在[a，+∞）上的最小值大于或等于g（x）在R上的最小值

1

2

，列出不等式求出a的范圍．

解答：解：（1）設t=x²+2x+3，則g（x）=log₄t
∵t=（x+1）2+2≥2，即t∈[2，+∞），
函數g（x）的值域為[

1

2

，+∞）；
（2）∵f（x）=（x-

3a

2

）²+1-

9

4

a²，
當a≥0時，

3a

2

∈[a，+∞），
這時，y_min=f（

3a

2

）=1-

9

4

a²；
當a＜0時，f（x）在[a，+∞）上是增函數，這時，f（x）在[a，+∞）上的最小值為：
f（a）=1-2a²
綜上，函數f（x）在[a，+∞）上的最小值為：
當a≥0時，1-

9

4

a²
當a＜0時，1-2a²  （8分）
（3）g（x）在R上的最小值為

1

2

由題意得f（x）在[a，+∞）上的最小值大于或等于g（x）在R上的最小值

1

2

當a≥0時，由1-

9

4

a²≥

1

2

解得 -

2

3

≤a≤

2

3

這時，0≤a≤

2

3

當a＜0時，1-2a²≥

1

2

解得：-

1

2

≤a≤

1

2

這時，-

1

2

≤a＜0
綜上，a的取值范圍為：-

1

2

≤a≤

2

3

 （14分）

點評：本小題主要考查函數恒成立問題、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．對于二次函數，配方求得函數的對稱軸是解題的關鍵．由于對稱軸所含參數不確定，而給定的區間也是不確定的，這就需要分類討論．利用函數的圖象將對稱軸移動，合理地進行分類，從而求得函數的最值，當然應注意若求函數的最大值，則需按中間偏左、中間偏右分類討論．