Question

已知，其中．
（1）當時，證明；
（2）若在區間，內各有一個根，求的取值范圍；
（3）設數列的首項，前項和，，求，并判斷是否為等差數列？

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3），不是等差數列.

解析試題分析：（1）根據條件中，可得，，從而考慮采用作差法來比較兩者的大小：，再由條件中可知，即；（2）可將條件在區間，內各有一個根等價轉化為二次函數在區間，上各有一個零點，因此利用數形結合的思想可知，需滿足：
，則問題等價于在線性約束條件，求線性目標函數的取值范圍，將線性約束條件表示的可行域畫出，即可得；（3）由題意可知，考慮到當時，，當，
，因此數列的通項公式為
,從而可得，（），由p>0,q>0可知，故不是等差數列.
試題解析：（1），，       1分
∴，          3分
∵，∴，即，
∴；        4分
（2）拋物線的圖像開口向上，且在區間，內各有一個根，
∴        6分
∴點（）組成的可行域如圖所示，        8分
由線性規劃知識可知，，即．        9分

（3）由題意可知，，．
當時，，∴．          10分
當時，，
∴        12分
∵，（），
∵，從而可知，，∴不是等差數列．        14分
考點：1.作差法比較代數式的大小；2.二次函數的零點分布；3.線性規劃；4.數列的通項公式.