Question

【題目】交通指數是交通擁堵指數的簡稱，是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念，記交通指數為T，其范圍為[0，10]，分為五個級別，T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通；T∈[4，6）輕度擁堵；T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10]嚴重擁堵．早高峰時段（T≥3），從某市交通指揮中心隨機選取了三環以內的50個交通路段，依據其交通指數數據繪制的頻率分布直方圖如右圖． （Ⅰ）這50個路段為中度擁堵的有多少個？
（Ⅱ）據此估計，早高峰三環以內的三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是多少？
（III）某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為36分鐘；中度擁堵為42分鐘；嚴重擁堵為60分鐘，求此人所用時間的數學期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18，這50路段為中度擁堵的有18個． （Ⅱ）設事件A“一個路段嚴重擁堵”，則P（A）=0.1，
事件B 至少一個路段嚴重擁堵”，則P =（1﹣P（A））3=0.729．
P（B）=1﹣P（ ）=0.271，所以三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是0.271．
（III）由頻率分布直方圖可得：分布列如下表：

X	30	36	42	60
P	0.1	0.44	0.36	0.1

E（X）=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96．
此人經過該路段所用時間的數學期望是39.96分鐘．
【解析】（Ⅰ）利用（0.2+0.16）×1×50即可得出這50路段為中度擁堵的個數．（Ⅱ）設事件A“一個路段嚴重擁堵”，則P（A）=0.1，事件B 至少一個路段嚴重擁堵”，則P =（1﹣P（A））3 ． P（B）=1﹣P（ ）=0.271，可得三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率．（III）利用頻率分布直方圖即可得出分布列，進而得出數學期望．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用頻率分布直方圖的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．