Question

（本小題滿分12分）
在如圖所示的幾何體中，平面，∥，是的中點，
，，．
（Ⅰ）證明平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

圖7

Answer 1

略

解法一（Ⅰ）取的中點，連結、．

因為∥，∥，所以∥．
又因為，，所以．
所以四邊形是平行四邊形，∥．                   ……分
在等腰中，是的中點，所以．
因為平面，平面，所以．
而，所以平面．
又因為∥，所以平面．                      ……分
（Ⅱ）因為平面，平面，所以平面平面．
過點作于，則平面，所以．
過點作于，連結，則平面，所以．
所以是二面角的平面角．                                     ……分
在中，．
因為，所以是等邊三角形．又，所以
，．
在中，．
所以二面角的余弦值是．                                             ……分

解法二  （Ⅰ）因為平面，∥，所以平面．
故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則
相關各點的坐標分別是，，，
，，．        ……分                   
所以，，．
因為，，
所以，．而，所以平面．……分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，．
設是平面的一個法向量，由 得
即．取，則．
設是平面的一個法向量，由 得
即．取，，則．
……分
設二面角的大小為，則
．                             
故二面角的余弦值是．      ……分