Question

設n∈N^*，不等式組所表示的平面區域為D_n，把D_n內的整點（橫、縱坐標均為整數的點）按其到原點的距離從近到遠排列成點列：（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）
（1）求（x_n，y_n）；
（2）設數列{a_n}滿足，求證：n≥2時，；
（3）在（2）的條件下，比較與4的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因為x∈N^*，所以x=1，從而x=1與y=-nx+2n的交點為（1，n），即所以D_n內的整點（x_n，y_n）為（1，n）
（2）先化簡為，兩式相減即可證得
（3）先猜想：n∈N^*時，，再利用（2）的結論可以證明．
解答：解：（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因為x∈N^*，所以x=1
又x=1與y=-nx+2n的交點為（1，n），所以D_n內的整點，按由近到遠排列為：
（1，1），（1，2），…，（1，n）------------------（4分）
（2）證明：n≥2時，
所以，
兩式相減得：------------------（9分）
（3）n=1時，，n=2時，
可猜想：n∈N^*時，------------------（11分）
事實上n≥3時，由（2）知
所以
=
=
=

=-----（15分）
點評：本題以線性規劃為載體，考查數列、不等式的證明，應注意充分挖掘題目的條件，合理轉化