Question

如圖所示, 在三棱柱中, 底面，.

（1）若點分別為棱的中點，求證：平面；

(2) 請根據下列要求設計切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一條側棱的平面去截此三棱柱,切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體. 簡單地寫出一種切割和拼接方法，并寫出拼接后的長方體的表面積（不必寫出計算過程）.

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）拼接成的長方體的表面積為16或.

解析:

連結，底面，平面，

∴.    ，分別為棱的中點，

∴.，

∴Rt△ Rt△.∴.

,∴.

∴.   ∴

，∴平面.

∴.   ，∴平面.                                      

平面，∴. 同理可證.                                     

，∴平面.                                        

（2）切割拼接方法一：如圖甲所示，分別以的中點所確定的平面為截面，把三棱柱切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體（該長方體的一個底面為長方形如圖①所示，），此時所拼接成的長方體的表面積為16. 

                                                            

                              圖甲                            圖①

切割拼接方法二：如圖乙所示，設的中點分別為，以四點所確定的平面為截面，把三棱柱切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體（該長方體的一個底面為正方形），此時所拼接成的長方體的表面積為.