Question

（本題滿分10分）《選修4-4：坐標系與參數方程》

在直接坐標系xOy中，直線的方程為x-y+4=0，曲線C的參數方程為

（1）已知在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為，判斷點P與直線的位置關系；

（2）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線的距離的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1)點P在直線上；(2)當時，d取得最小值，且最小值為。

【解析】

試題分析：（1）由曲線C的參數方程為 ，知曲線C的普通方程，再由點P的極坐標為(4， )，知點P的普通坐標為（4cos ，4sin ），即（0，4），由此能判斷點P與直線l的位置關系．

（2）由Q在曲線C： 上，（0°≤α＜360°），知Q( cosα，sinα)到直線l：x-y+4=0的距離d= |2sin(α+θ)+4|，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直線l的距離的最小值

解：(1)把極坐標系下的點化為直角坐標，得P（0，4）。

因為點P的直角坐標（0，4）滿足直線的方程，

所以點P在直線上，

(2)因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為，

從而點Q到直線的距離為

由此得，當時，d取得最小值，且最小值為

考點：本試題主要考查了橢圓的參數方程和點到直線距離公式的應用，解題時要認真審題，注意參數方程與普通方程的互化，注意三角函數的合理運用．

點評：解決該試題的關鍵是參數方程與普通方程的互化以及對于點到直線距離公式的靈活運用求解最值。