Question

設a＞0且a≠0，函數．
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在（3，f（3））處切線的斜率；
（2）求函數f（x）的極值點．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數 ，根據a=2，我們易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切線的斜率k=f′（3）．
（2）由已知我們易求出函數的導函數，令導函數值為0，我們則求出導函數的零點，根據m＞0，我們可將函數的定義域分成若干個區間，分別在每個區間上討論導函數的符號，即可得到函數函數f（x）的極值點．
解答：解：（1）由已知x＞0（2分）
當a=2時，（4分）
所以，
曲線y=f（x）在（3，f（3））處切線的斜率為，（6分）
（2）（8分）
由f'（x）=0得x=1或x=a，（9分）
①當0＜a＜1時，
當x∈（0，a）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x∈（a，1）時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
此時x=a是f（x）的極大值點，x=1是f（x）的極小值點（10分）
②當a＞1時，
當x∈（0，1）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x∈（a，1）時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增
此時x=1是f（x）的極大值點，x=a是f（x）的極小值點（13分）
綜上，當0＜a＜1時，x=a是f（x）的極大值點，x=1是f（x）的極小值點；
當a=1時，f（x）沒有極值點；
當a＞1時，x=1是f（x）的極大值點，x=a是f（x）的極小值點
點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，利用導數研究曲線上某點切線方程，其中根據已知函數的解析式求出導函數的解析式是解答本題的關鍵，還考查利用導函數來研究函數的極值．在利用導函數來研究函數的極值時，分三步①求導函數，②求導函數為0的根，③判斷根左右兩側的符號，若左正右負，原函數取極大值；若左負右正，原函數取極小值．