Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，且交于點，是上任意一點.

（1）求證；

（2）已知二面角的余弦值為，若為的中點，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）利用線面垂直的性質得，利用菱形的性質得，利用線面垂直的判定定理得平面，利用線面垂直得到線線垂直，從而得到；

（2）分別以，，為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，設，用坐標表示點，求得平面的法向量為，平面的法向量為，根據二面角的余弦值為，可求出，從而得到點的坐標，再利用向量的夾角公式，即可求得與平面所成角的正弦值.

（1）∵平面，∴

又∵四邊形為菱形，∴

又，∴平面

平面，∴

（2）連，在中，，∴平面

分別以，，為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.

設，則，，

，，.

由（1）知，平面的一個法向量為

設平面 的一個法向量為，則由

即，令，則

因二面角的余弦值為，

∴，∴

設與平面所成角為，∵，，

∴.