Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn=2an﹣n．
（Ⅰ）證明數列{an+1}是等比數列，求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）記bn= + ，求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：令n=1，得a1=2a1﹣1，由此得a1=1． 由于Sn=2an﹣n，則Sn+1=2an+1﹣（n+1），
兩式相減得Sn+1﹣Sn=2an+1﹣（n+1）﹣2an+n，
即an+1=2an+1．
∴an+1+1=2an+1+1=2（an+1），即 =2，
故數列{an+1}是等比數列，其首項為a1+1=2，
故數列{an+1}的通項公式是an+1=22n﹣1=2n ，
故數列{an}的通項公式是an=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn= + = = ，
= = ﹣ ，
所以Tn=b1+b2+…+bn=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ，），
= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，
=1﹣ ，
數列{bn}的前n項和Tn=1﹣ ．
【解析】（Ⅰ）利用數列遞推式，結合等比數列的定義，即可到結論；（Ⅱ）由（Ⅰ）bn= + = = ﹣ ，利用“裂項法”即可求得數列{bn}的前n項和Tn ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．