Question

【題目】數學家歐拉在1765年提出：三角形的外心、重心位于同一直線上，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線，若的頂點，，且的歐拉線的方程為.

（1）求外心（外接圓圓心）的坐標；

（2）求頂點的坐標.

（注：如果三個頂點坐標分別為，，，則重心的坐標是.）

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）三角形外心是三邊中垂線的交點，由已知條件知頂點，，計算出邊上的中垂線，結合三角形的歐拉線，聯立方程組求出外心坐標；

（2）由題意知重心也在歐拉線上，設出頂點的坐標，表示出重心坐標代入歐拉線方程，再結合（1）中的外心坐標，外心到三個頂點距離相等，得到方程組求出頂點的坐標.

（1）三角形外心是三邊中垂線的交點，

由已知條件知頂點，，則中點坐標為，，

所以邊上的中垂線方程為，化簡得，

又因為三角形的外心在歐拉線上，聯立 ，解得，

所以外心的坐標為；

（2）設，則的重心坐標為，

由題意可知重心在歐拉線上，故滿足，化簡得，

由（1）得外心的坐標為，

則，即，

整理得，

聯立，解得或，

當，時，點與點重合，故舍去，

所以頂點的坐標為.