Question

（本小題滿分14分）
如圖，設點、分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且最小值為．

（1）求橢圓的方程；
（2）若動直線均與橢圓相切，且，試探究在軸上是否存在定點，點到的距離之積恒為1？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）存在定點為或滿足要求

解析試題分析：（1）設，則有，         ……1分
                   ……2分
由最小值為得，                    ……3分
∴橢圓的方程為．                                         ……4分
（2）①當直線斜率存在時，設其方程為            ……5分
把的方程代入橢圓方程得
∵直線與橢圓相切，∴，
化簡得                                                     ……7分
同理，                                                     ……8分
∴，若，則重合，不合題意，∴                  ……9分
設在軸上存在點，點到直線的距離之積為1，
則，即，                         ……10分
把代入并去絕對值整理，
或者
前式顯然不恒成立；而要使得后式對任意的恒成立
則，解得；                                             ……12分
②當直線斜率不存在時，其方程為和，                ……13分
定點到直線的距離之積為；
定點到直線的距離之積為；
綜上所述，滿足題意的定點為或                           ……14分
考點：本小題主要考查橢圓的標準方程，橢圓的性質和直線與橢圓的位置關系.
點評：每年高考都會考查圓錐曲線問題