Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓： 的離心率為，直線l：y＝2上的點和橢圓上的點的距離的最小值為1．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 已知橢圓的上頂點為A，點B，C是上的不同于A的兩點，且點B，C關(guān)于原點對稱，直線AB，AC分別交直線l于點E，F．記直線與的斜率分別為， ．

① 求證： 為定值；

② 求△CEF的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①詳見解析②

【解析】試題分析：

(1)由題意求得 的值，結(jié)合橢圓焦點位于 軸上寫出標準方程即可；

(2)①中，分別求得 的值，然后求解其乘積即可證得結(jié)論；

②中，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用面積公式得出三角形面積的解析式，最后利用均值不等式求得面積的最小值即可.

試題解析：

（Ⅰ）由題知，由，

所以．

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）① 證法一：設(shè)，則，

因為點B，C關(guān)于原點對稱，則，

所以．

證法二：直線AC的方程為，

由得，

解得，同理，

因為B，O，C三點共線，則由，

整理得，

所以．

②直線AC的方程為，直線AB的方程為，不妨設(shè)，則，

令y＝2，得，

而，

所以，△CEF的面積

．

由得，

則 ，當且僅當取得等號，

所以△CEF的面積的最小值為．