Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為R．a，b∈R，若此函數同時滿足：
①當a+b=0時，有f（a）+f（b）=0；
②當a+b＞0時，有f（a）+f（b）＞0，
則稱函數f（x）為Ω函數．
在下列函數中：
①y=x+sinx；
②y=3x﹣（ ）x；
③y=
是Ω函數的為 ． （填出所有符合要求的函數序號）

Answer 1

【答案】①②
【解析】解：容易判斷①②③都是奇函數；
y′=1﹣cosx≥0，y′=ln3（3x+3﹣x）＞0；
∴①②都在定義域R上單調遞增；
③在定義域R上沒有單調性；
設y=f（x），從而對于函數①②：a+b=0時，a=﹣b，f（a）=f（﹣b）=﹣f（b）；
∴f（a）+f（b）=0；
a+b＞0時，a＞﹣b；
∴f（a）＞f（﹣b）=﹣f（b）；
∴f（a）+f（b）＞0；
∴①②是Ω函數；
對于函數③，a+b＞0時，得到a＞﹣b；
∵f（x）不是增函數；
∴得不到f（a）＞f（﹣b），即得不出f（a）+f（b）＞0．
所以答案是：①②．
【考點精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應用的相關知識點，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系才能正確解答此題．