Question

通常用a、b、c表示△ABC的三個內角∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，R表示△ABC外接圓半徑．
（1）如圖所示，在以O為圓心，半徑為2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的長；
（2）在△ABC中，若∠C是鈍角，求證：a²+b²＜4R²；
（3）給定三個正實數a、b、R，其中b≤a，問：a、b、R滿足怎樣的關系時，以a、b為邊長，R為外接圓半徑的△ABC不存在，存在一個或兩個（全等的三角形算作同一個）？在△ABC存在的情況下，用a、b、R表示c．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理知

AB

sinC

=

b

sinB

=

a

sinA

=2R，根據題目中所給的條件，不難得出弦AB的長；
（2）若∠C是鈍角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a²+b²＜c²＜（2R）²，即可證得結果；
（3）根據圖形進行分類討論判斷三角形的形狀與兩邊a，b的關系，以及與直徑的大小的比較，分成三類討論即可．

解答：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°

AB

sinC

=

b

sinB

=

a

sinA

=2R?b=2

2

sinA=

1

2

∵A為銳角∴A=30°，B=45°
∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=

6

+

2

；
（2）∠C為鈍角，∴cosC＜0，且cosC≠1
cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0∴a²+b²＜c²＜（2R）²
即a²+b²＜4R²（8分）
（3）a＞2R或a=b=2R時，△ABC不存在
當

a=2R b＜a

時，A=90，△ABC存在且只有一個
∴c=

a2-b2

當

a＜2R b=a

時，∠A=∠B且都是銳角sinA=sinB=

a

2R

時，△ABC存在且只有一個
∴c=2RsinC=2Rsin²AC=

9

R

4R2-a2

當

a＜2R b＜a

時，∠B總是銳角，∠A可以是鈍角，可是銳角
∴△ABC存在兩個
∠A＜90°時，
c=

a2+b2+ ab 2R2 ( 4R2-a2 4R2-b2 -ab)

∠A＞90°時，
c=

a2+b2+ ab 2R2 ( 4R2-a2 4R2-b2 +ab)

點評：本題考查三角形中的幾何計算，綜合考查了三角形形狀的判斷，解三角形，三角形的外接圓等知識，綜合性很強，尤其是第三問需要根據a，b兩邊以及直徑的大小比較確定三角形的形狀．再在這種情況下求第三邊的表達式，本解法主觀性較強．難度較大．