Question

(13分)在中學階段,對許多特定集合(如實數集、復數集以及平面向量集等)的學習常常是以定義運算(如四則運算)和研究運算律為主要內容.現設集合由全體二元有序實數組組成,在上定義一個運算,記為,對于中的任意兩個元素,,規定:.
(1)計算:;
(2)請用數學符號語言表述運算滿足交換律,并給出證明;
(3)若“中的元素”是“對,都有成立”的充要條件,試求出元素.

Answer 1

(1) . (2)交換律:,證明見解析；(3) .

這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據新運算的定義，將已知中的數據代入進行運算，易得最終結果．
（1）由已知α⊙β=（ad+bc，bd-ac），將：（2，3）⊙（-1，4）中參與運算的兩個元素代入易得答案．
（2）根據已經學過的數、向量等的交換率，類比給出⊙運算的交換率，結合⊙的定義，不難證明．
（3）根據充要條件的定義，結合⊙的定義，不難得到一個關于I=（x，y）的方程組，解方程組，即可得到答案．
解:(1) . ………3分
(2)交換律:,      ………4分
證明如下:設,,則,
==.
∴.              ………  8分                 
(3)設中的元素,對,都有成立,
由(2)知只需,即 
①若,顯然有成立;     
②若,則,解得,        
∴當對,都有成立時,得,
易驗證當時,有對,都有成立………13分
∴.