Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（0，2）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動點(diǎn)，AP⊥BP．
（Ⅰ）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，
ⅰ）若

OM

•

ON

=-1，求實(shí)數(shù)m取值；
ⅱ）若點(diǎn)A在以線段MN為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)A（0，2）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，得出B（0，-2）．如圖，由于AP⊥BP，得出動點(diǎn)P的軌跡C是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓，最后寫出動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（II）i）設(shè)直線l：y=x+m與曲線C交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）兩點(diǎn)，將直線的方程代入圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求得m值，從而解決問題．
ii）若點(diǎn)A在以線段MN為直徑的圓內(nèi)，則∠MAN＞90°，即

AM

•

AN

＜ 0，同i）理，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I）∵點(diǎn)B與點(diǎn)A（0，2）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，
∴B（0，-2）．如圖，
∵AP⊥BP，
∴在直角三角形AOB中，OP=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∴動點(diǎn)P的軌跡C是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓，
它的方程為x²+y²=4．
（II）
i）設(shè)直線l：y=x+m與曲線C交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
聯(lián)立方程組

x2+y2=4 y=x+m

，得2x²+2mx+m²-4=0，
則x₁+x₂=-m，x₁x₂=

1

2

（m²-4），
且△=（2m）²-4×2（m²-4）≥0?-2

2

≤m≤2

2

．
∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=

1

2

（m²-4）+m（-m）+m²=

1

2

（m²-4），
∵

OM

•

ON

=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=-1，
即m²-4=-1，∴m=±

3

．
ii）若點(diǎn)A在以線段MN為直徑的圓內(nèi)，則∠MAN＞90°，
即

AM

•

AN

＜ 0，
即（x₁，y₁-2）•（x₂，y₂-2）＜0，
x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4＜0
從而有：

1

2

（m²-4）+

1

2

（m²-4）-2（-m+2m）+4＜0
∴0＜m＜2．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．