Question

【題目】設橢圓C： + =1（a＞b＞0）過點（2，0），離心率為 ．
（1）求C的方程；
（2）過點（1，0）且斜率為1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求AB的中點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓C： + =1（a＞b＞0）可知：焦點在x軸上，過（2，0），

∴a=2，

由離心率e= = = ，解得：b2=3，

∴橢圓的標準方程為： ；

（2）解：由題意可知：直線方程為y=x﹣1，設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），

∴ ，整理得：7x2﹣8x﹣8=0，

由韋達定理可知：x1+x2= ，

y1+y2=x1﹣1+x2﹣1=﹣ ，

由中點坐標公式可知x= = ，y= =﹣ ，

∴AB的中點M的坐標（ ，﹣ ）．

【解析】（1）由橢圓方程可知焦點在x軸上，因此（2，0）為橢圓的右頂點，則a=2，由橢圓的離心率公式可知，e= = = ，即可求得b的值，即可求得C的方程；（2）設直線l的方程y=x﹣1，代入橢圓方程，由韋達定理及直線方程求得x1+x2 ， y1+y2 ， 根據中點坐標公式，求得AB的中點M的坐標．