Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=

2

，BB₁=1，則AB₁與C₁B所成角的大小為（　　）

A．60°

B．90°

C．105°

D．75°

Answer 1

分析：取A₁B₁中點D，連結BD、C₁D，矩形AA₁B₁B中利用三角函數的定義，證出∠B₁BD=∠B₁AB，可得AB₁⊥BD．根據面面垂直的性質和線面垂直的判定，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中證出AB₁⊥平面BC₁D，從而得出AB₁⊥C₁B，即AB₁與C₁B所成角的大小為90°．

解答：解：取A₁B₁中點D，連結BD、C₁D，
∵矩形AA₁B₁B中，tan∠B₁BD=tan∠B₁AB=

2

2

∴∠B₁BD=∠B₁AB=90°-∠ABD，可得∠B₁AB+∠ABD=90°
因此AB₁⊥BD
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁B₁B
平面A₁B₁C₁∩平面AA₁B₁B=A₁B₁，DC₁⊥A₁B₁
∴直線DC₁⊥平面AA₁B₁B，可得DC₁⊥AB₁
∵DC₁∩BD=D，∴AB₁⊥平面BC₁D
因此，可得AB₁⊥C₁B，即AB₁與C₁B所成角的大小為90°
故選：B

點評：本題在正三棱柱中求異面直線所成角大小．著重考查了正棱柱的性質、空間垂直位置關系的判斷與性質等知識，屬于中檔題．