Question

設向量

a

，

b

，

c

滿足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=

1

2

，（ 

a

-

c

）•（ 

b

-

c

）=0，則|

c

|的最大值為（　　）

• A．

  3 +1

  2

• B．

  3 -1

  2

• C．

  3

• D．1

Answer 1

分析：建立坐標系，以

a

，

b

的角平分線所在直線為x軸，使得

a

的坐標為（

3

2

，

1

2

），

b

的坐標為（

3

2

，-

1

2

），設

c

的坐標為（x，y），由條件可得得 (x-

3

2

)2+y²=

1

4

，表示以（

3

2

，0）為圓心，半徑等于

1

2

的圓．求出圓心到原點的距離，再加上半徑，即得所求．

解答：解：建立坐標系，以

a

，

b

的角平分線所在直線為x軸，使得

a

的坐標為（

3

2

，

1

2

），

b

的坐標為（

3

2

，-

1

2

），設

c

的坐標為（x，y），
則由已知（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，可得 （

3

2

-x，

1

2

-y）•（

3

2

-x，-

1

2

-y）=0．
化簡可得 (x-

3

2

)2+y²=

1

4

，表示以（

3

2

，0）為圓心，半徑等于

1

2

的圓．
本題即求圓上的點到原點的距離的最大值，由于圓心到原點的距離等于

3

2

，故圓上的點到原點的距離的最大值為

3

2

+

1

2

，
故選A．

點評：本題考查平面向量數量積的運算，本題解題的關鍵是寫出滿足條件的對應的點，根據數形結合思想求出向量的模長，屬于基礎題．