Question

如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形， ，為中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求異面直線BS與AC所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）根據(jù)，為中點(diǎn)得到，
連OA，求得得到，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012532638553.png" style="vertical-align:middle;" />是平面ABC內(nèi)的兩條相交直線，所以平面.
（Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，所以
又為中點(diǎn)，所以
連OA，設(shè)AB=2，由易求得
所以，所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012532638553.png" style="vertical-align:middle;" />是平面ABC內(nèi)的兩條相交直線，所以平面.
（Ⅱ）分別取AB、SC、OC的中點(diǎn)N、M、H，連
MN、OM、ON、HN、HM，由三角形中位線定理


所以O(shè)M、ON所成角即為異面直線BS與AC所成角
設(shè)AB=2，易求得


所以異面直線BS與AC所成角的大小為．
點(diǎn)評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。利用向量則能簡化證明過程，對計(jì)算能力要求高。解答立體幾何問題，另一個重要思想是“轉(zhuǎn)化與化歸思想”，即注意將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。