Question

如圖所示，F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點；已知頂點B(0，

3

)到F₁、F₂兩點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）證明：橢圓C上任意一點M（x₀，y₀）到右焦點F₂的距離的最小值為1．
（3）作AB的平行線交橢圓C于P、Q兩點，求弦長|PQ|的最大值，并求|PQ|取最大值時△F₁PQ的面積．

Answer 1

分析：（1）根據頂點B(0，

3

)到F₁、F₂兩點的距離之和為4，可得a=2，b=

3

，從而可求橢圓方程；
（2）計算出橢圓C上任意一點M（x₀，y₀）到右焦點F₂的距離，根據x₀∈[-2，2]，可證結論；
（3）先求|PQ|max=

14

，再求點F₁（-1，0）到直線PQ的距離，即可求得△F₁PQ的面積．

解答：（1）解：由已知得a=2，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（2分）
（2）證明：∵M（x₀，y₀），F₂（1，0）且x₀∈[-2，2]，
∴|MF2|=

(x0-1)2+(y0-0)2

=

( 1 2 x0-2)2

=|

1

2

x0-2|∈[1，3]…（4分）
∴僅當M（x₀，y₀）為右頂點時|MF₂|_min=1…（5分）
（3）解：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）∵kAB=

3

2

，
∴可設直線PQ：y=

3

2

x+m，
代入

x2

4

+

y2

3

=1，得3x2+2

3

mx+2m2-6=0…（7分）
由韋達定理知，x1+x2=-

2 3 m

3

，x1x2=

2m2-6

3

，…（9分）
又y1=

3

2

x1+m，y2=

3

2

x2+m
∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+ 3 4 )(x1-x2)2

=

(1+ 3 4 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

7 4 [(- 2 3 m 3 )2- 8m2-24 3 ]

=

7(6-m2) 3

僅當m=0時|PQ|max=

14

…（12分）
而點F₁（-1，0）到直線PQ：

3

x-2y=0的距離h=

|- 3 |

3+4

=

21

7

，
∴S△F1PQ=

1

2

|PQ|•h=

6

2

．…（14分）

點評：本題以橢圓的性質為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是將直線與橢圓方程聯立，從而利用韋達定理解題．