Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的最小值；

（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；（3）.

【解析】

試題（1）當(dāng)m=e時(shí)，＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極小值；（2）由，得，令，x＞0，m∈R，則h（1）=，

h′（x）=1-x2=（1+x）（1-x），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g（x）=f′（x）-零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）（理）當(dāng)b＞a＞0時(shí)，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范圍

試題解析：（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，

易得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，取得極小值

的極小值為2

（2）函數(shù)

令，得

設(shè)

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；

所以是的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x=1也是的最大值點(diǎn)，

的最大值為

又，結(jié)合y=的圖像（如圖），可知

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

④時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

（3）對(duì)任意恒成立，等價(jià)于恒成立

設(shè)，在上單調(diào)遞減

在恒成立

恒成立

（對(duì)，僅在時(shí)成立），的取值范圍是