Question

已知曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ為參數）．
（1）化C₁，C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若C₁上的點P對應的參數為t=

π

2

，Q為C₂上的動點，求PQ中點M到直線C₁：

x=3+2t y=-2+t

（t為參數）距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）分別消去兩曲線參數方程中的參數得到兩曲線的普通方程，即可得到曲線C₁表示一個圓；曲線C₂表示一個橢圓；
（2）把t的值代入曲線C₁的參數方程得點P的坐標，然后把直線的參數方程化為普通方程，根據曲線C₂的參數方程設出Q的坐標，利用中點坐標公式表示出M的坐標，利用點到直線的距離公式表示出M到已知直線的距離，利用兩角差的正弦函數公式化簡后，利用正弦函數的值域即可得到距離的最小值．

解答：解：（1）把曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數）化為普通方程得：（x+4）²+（y-3）²=1，
所以此曲線表示的曲線為圓心（-4，3），半徑1的圓；
把C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ為參數）化為普通方程得：

x2

64

+

y2

9

=1，所以此曲線方程表述的曲線為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸為8，短半軸為3的橢圓；
（2）把t=

π

2

代入到曲線C₁的參數方程得：P（-4，4），
把直線C₃：

x=3+2t y=-2+t

（t為參數）化為普通方程得：x-2y-7=0，
設Q的坐標為Q（8cosθ，3sinθ），故M（-2+4cosθ，2+

3

2

sinθ）
所以M到直線的距離d=

|4cosθ-3sinθ-13|

5

=

|5sin(α-θ)-13|

5

，（其中sinα=

4

5

，cosα=

3

5

）
從而當cosθ=

4

5

，sinθ=-

3

5

時，d取得最小值

8 5

5

．

點評：此題考查學生理解并運用直線和圓的參數方程解決數學問題，靈活運用點到直線的距離公式及中點坐標公式化簡求值，是一道綜合題．