Question

（2000•上海）已知復數z₀=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均為實數，i為虛數單位，且對于任意復數z，有w=

.

z0

•

.

z

，|w|=2|z|．
（Ⅰ）試求m的值，并分別寫出x'和y'用x、y表示的關系式：
（Ⅱ）將（x、y）用為點P的坐標，（x'、y'）作為點Q的坐標，上述關系式可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點P變到這一平面上的點Q．已知點P經該變換后得到的點Q的坐標為(

3

，2)，試求點P的坐標；
（Ⅲ）若直線y=kx上的任一點經上述變換后得到的點仍在該直線上，試求k的值．

Answer 1

分析：（I）對式子w=

.

z0

•

.

z

兩邊取模，再由“|w|=2|z|”求出|z₀|的值，再求出m的值代入w=

.

z0

•

.

z

，利用共軛復數和復數乘法運算化簡，根據復數相等的充要條件列出關系式；
（Ⅱ）把點Q的坐標代入（I）所得的關系式求解即可；
（Ⅲ）設出直線y=kx上的任意點P（x，y），由（I）求出Q的坐標，代入直線方程化簡，并對k進行分類：k=0和k≠0，分別求解并判斷是否是同一條直線．

解答：解：（I）由題設得，|w|=|

.

z0

•

.

z

|=|z0||z|=2|z|，∴|z₀|=2，
由1+m2=4，且m＞0，得m=

3

，∴z₀=1-

3

i，
∵w=

.

z0

•

.

z

，
∴x′+y′i=

.

(1- 3 i)

•

.

(x+yi)

)=(1+

3

i)(x-yi)=x+

3

y+(

3

x-y)i，
由復數相等得，

x′=x+ 3 y y′= 3 x-y

，
（Ⅱ）由（I）和題意得，

x+ 3 y= 3 3 x-y=2

，解得

x= 3 4 3 y= 1 4

，
即P點的坐標為(

3

4

3

，

1

4

)．                 
（Ⅲ）∵直線y=kx上的任意點P（x，y），
其經變換后的點Q(x+

3

y，

3

x-y)仍在該直線上，
∴

3

x-y=k(x+

3

y)，
即(

3

k+1)y=(

3

-k)x
∵當k=0時，y=0，y=

3

x不是同一條直線，
∴k≠0，
于是

3 k+1

1

=

3 -k

k

，
即

3

k2+2k-

3

=0，
解得k=

3

3

或k=-

3

點評：本題考查了復數代數形式的混合運算，復數的模和幾何意義，復數相等充要條件等，以及點與直線問題等，應是復數中少見的綜合題．