Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是一個直角梯形，其中，，平面，，，點M和點N分別為和的中點.

（1）證明：直線平面；

（2）求直線和平面所成角的余弦值；

（3）求二面角的正弦值；

（4）求點P到平面的距離；

（5）設點N在平面內的射影為點H，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）；（4）；（5）

【解析】

（1）以為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法，證明與平面的法向量垂直，從而證明直線平面．

（2）求出平面的法向量，利用向量法，求出直線和平面所成角的余弦值．

（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法，求出二面角的正弦值．

（4）求出的坐標，再求出平面的法向量，利用向量法，求出點到平面的距離；

（5）設點在平面內的射影為點，從而表示出的坐標，求出到平面的距離，列出方程組，求出點坐標，從而求出的長度.

（1）四棱錐，底面是一個直角梯形，，平面，

所以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

，，，，，

，，，

設平面的法向量，

所以，，

取，則，

所以，平面，

所以直線平面.

（2），，，

設平面的法向量，

則，即，

取，則，

設直線與平面所成的角為，

則，

所以，

所以直線與平面所成角的余弦值為.

（3）設平面的法向量為，

則，即，

取，得，

平面的法向量，

設二面角的平面角為，

則，

所以，

所以二面角的正弦值為.

（4），平面的法向量，

所以點到平面的距離為

.

（5）設點在平面的射影為點，

則，

所以點到平面的距離為，

根據，得

解得，，，或者，，（舍）

所以.