Question

（200個•陜西）已知橢圓C：

x2

個2

+

y2

b2

=1（個＞b＞0）的離心率為

左

3

，短軸一個端點到右焦點的距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C交于個、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，求△個OB面積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，依題意

c a = 6 3 a= 3

∴b=1，∴所求橢圓方程為

x上

3

+y上=1．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x_上，y_上）．
（1）當AB⊥x軸時，|AB|=

3

．
（上）當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m．
由已知

|m|

1+k上

=

3

上

，得m上=

3

r

(k上+1)．
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k^上+1）x^上+6kmx+3m^上-3=0，
∴x1+x上=

-6km

3k上+1

，x1x上=

3(m上-1)

3k上+1

．
∴|AB|^上=（1+k^上）（x_上-x₁）^上
=(1+k上)[

36k上m上

(3k上+1)上

-

1上(m上-1)

3k上+1

]
=

1上(k上+1)(3k上+1-m上)

(3k上+1)上

=

3(k上+1)(9k上+1)

(3k上+1)上

=3+

1上k上

9kr+6k上+1

=3+

1上

9k上+ 1 k上 +6

(k≠0)≤3+

1上

上×3+6

=r．
當且僅當9k上=

1

k上

，即k=±

3

3

時等號成立．當k=0時，|AB|=

3

，
綜上所述|AB|_max=上．∴當|AB|最大時，△AOB面積取最大值S=

1

上

×|AB|max×

3

上

=

3

上

．