Question

【題目】已知函數.

（1）設函數，求函數的極值；

（2）若在上存在一點，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，極大值為，無極小值；當時，無極值；（2）或.

【解析】

（1）求出，對分類討論求出單調區間，即可求出結論；

（2）在上存在一點，使得成立，即為，只需，結合（1）中的結論對分類討論求出，即可求解.

（1）依題意，定義域為，

∴，

①當，即時，

令，∵，∴，

此時，在區間上單調遞增，

令，得.

此時，在區間上單調遞減.

②當，即時，恒成立，

在區間上單調遞減.

綜上，當時，

在處取得極大值，無極小值；

當時，在區間上無極值.

（2）依題意知，在上存在一點，使得成立，

即在上存在一點，使得，

故函數在上，有.

由（1）可知，①當，

即時，在上單調遞增，

∴，∴，

∵，∴.

②當，或，

即時，在上單調遞減，

∴，∴.

③當，即時，

由（2）可知，在處取得極大值也是區間上的最大值，

即，

∵，∴在上恒成立，

此時不存在使成立.

綜上可得，所求的取值范圍是或.