Question

如圖，已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右準線l₁：x=4與x軸交與點M，點A，F(xiàn)₂分別是的右頂點和右焦點，且MA=2AF₂．過點A作斜率為-1的直線l₂交橢圓于另一點B，以AB為底邊作等腰三角形ABC，點C恰好在直線l₁上．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由MA=2AF₂，得橢圓的離心率為e=

1

2

，從而a=2c，又橢圓的右準線l₁：x=4，所以

a2

c

=4，所以a=2，c=1，從而可求橢圓G的方程；
（2）直線l₂的方程為y=-x+2，解方程組

x2 4 +y2=1 y=-x+2

，可得B(

2

7

，

12

7

)，所以AB中點D(

8

7

，

6

7

)，從而可得AB的垂直平分線方程為y-

6

7

=x-

8

7

，由此可求C(4，

26

7

)，所以CD=

20 2

7

，AB=

12 2

7

，故可求△ABC的面積．

解答：解：（1）由MA=2AF₂，得橢圓的離心率為e=

1

2

，即a=2c．
又橢圓的右準線l₁：x=4，所以

a2

c

=4，所以a=2，c=1．
所以求橢圓G的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵過點A作斜率為-1的直線l₂，
∴直線l₂的方程為y=-x+2，
解方程組

x2 4 + y2 3 =1 y=-x+2

，得

x=2 y=0

或

x= 2 7 y= 12 7

，即
∵A（2，0），∴B(

2

7

，

12

7

)，
所以AB中點D(

8

7

，

6

7

)．
AB的垂直平分線方程為y-

6

7

=x-

8

7

，即y=x-

2

7

，
令x=4，得y=

26

7

，即C(4，

26

7

)．
所以CD=

20 2

7

，AB=

12 2

7

，
所以△ABC的面積S=

240

49

．

點評：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形的面積，綜合性強．