Question

【題目】（本題分）

如圖， 和所在的平面互相垂直，且， ．

（Ⅰ）求證： ．

（Ⅱ）求直線與面所成角的大小的正弦值．

（Ⅲ）求二面角的大小的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析(2) （3）

【解析】試題分析：（1）建立空間直角坐標系，即證；（2）求出平面的一個法向量，利用公式即可得到直線與面所成角的大小的正弦值，（3）求出平面的法向量，結合（2），利用公式求出二面角的大小的余弦值．

試題解析：

（Ⅰ）設，作于，連結，以點為原點， ， ， 的方向分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則， ， ， ， ，所以， ，

∴．

∴．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，

顯然為平面的一個法向量，

∴．

∴直線與平面所成角的正弦值為．

（Ⅲ）解：設平面的法向量，

則，即，

令，則， ，

∴．

．

又二面角為鈍角，

∴二面角的余弦值為．