Question

從圓x²+y²=4上任意一點P作x軸的垂線，垂足為Q，點M在線段PQ上，且

QM

=λ

QP

(0＜λ＜1)．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）如果點A（-3，4）關于直線y=x+4的對稱點B在曲線C上，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M（x，y），欲求點M的軌跡C的方程，即尋找x，y之間 的關系式，利用向量間的關系求出P點的坐標后代入圓的方程即可得；
（Ⅱ）先求出點A（-3，4）關于直線y=x+4的對稱點B，后將B的坐標代入曲線C的方程即可求得λ．

解答：解：（I）設M（x，y），由題意Q（x，0），P（x，y₁）（2分）
由

QM

=λ

QP

(0＜λ＜1)得，
（0，y）=λ（0，y₁），所以y1=

y

λ

，（4分）
∵P（x，y₁）在圓x²+y²=4上，
∴點M的軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

4λ2

=1(0＜λ＜).（6分）
（II）設點B（m，n），依題意有

n-4 m+3 =-1 n+4 2 = m-3 2 +4

，（9分）
解得m=0，n=1，B（0，1）（11分）
由B在曲線C上得，λ=

1

2

（13分）

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題，本題考查了利用相關點法求軌跡方程，相關點法  根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程．