Question

【題目】已知函數(shù)定義在區(qū)間內(nèi)，對于任意的，有，且當時，．

（1）驗證函數(shù)是否滿足這些條件；

（2）判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和單調(diào)性，并加以證明；

（3）若，求方程的解．

Answer 1

【答案】（1）滿足；（2）奇函數(shù)、減函數(shù)；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由得定義域為．通過對數(shù)運算可得成立，由 ；

（2）令，再令函數(shù)為奇函數(shù)．任取，且 ，證明成立在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)；

（3）利用奇偶性和已知等式可將方程化為，再根據(jù)單調(diào)性可得方程的解為．

試題解析：（1），，

即定義域為．

又，

，

成立，

且時，，即，∴．

即，符合條件

（2）令，則，

令，則，

，即函數(shù)為奇函數(shù)．

任取，且 ，

則．

，

．

，則，

即．

在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)

（3）為奇函數(shù)，

，

又，

且，

，．

．

在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，

．即（舍）．

故方程的解為