Question

已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標原點，且與以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個頂點與點A關于直線y＝x對稱．設直線l過點A，斜率為k．

(1)求雙曲線S的方程；

(2)當k＝1時，在雙曲線S的上支上求點B，使其與直線l的距離為；

(3)當0≤k＜1時，若雙曲線S的上支上有且只有一個點B到直線l的距離為，求斜率k的值及相應的點B的坐標．如圖．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知可得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，(0，)．雙曲線S的方程為－＝1． 　　(2)設B(x，)是雙曲線S到直線l：y＝x－的距離為的點，由點到直線的距離公式有 　　＝． 　　解得x＝，∴縱坐標為＝2，即y＝2，即B(，2)． 　　(3)當0≤k＜1時，雙曲線S的上支在直線l的上方，所以B在直線l的上方，設直線與直線l：y＝k(x－)平行，兩線間的距離為，且直線在直線l的上方，雙曲線S的上支上有且只有一個點B到直線l的距離為，等價于直線與雙曲線S的上支有且只有一個公共點． 　　設的方程為y＝kx＋m，由l上的點A到的距離為， 　　可知＝． 　　解得m＝(±－k)． 　　因為直線在直線l的上方， 　　所以m＝(－k)． 　　由方程組消去y得 　　(k2－1)x2＋2mkx＋m2－2＝0． 　　因為k2≠1，所以Δ＝4m2k2－4(k2－1)(m2－2)＝4(m2－2＋2k2)＝8k(3k－2)． 　　令Δ＝0，由0≤k＜1，解得k＝0或k＝． 　　當k＝0時，m＝解得x＝0或y＝． 　　此時點B的坐標為(0，)； 　　當k＝時，m＝，解得x＝2，y＝． 　　此時點B的坐標為(2，)．