Question

【題目】若函數滿足“存在正數，使得對定義域內的每一個值，在其定義域內都存在，使成立”，則稱該函數為“依附函數”．

（1）分別判斷函數①，②是否為“依附函數”，并說明理由；

（2）若函數的值域為，求證：“是‘依附函數’”的充要條件是“”．

Answer 1

【答案】（1）①是，②不是；理由詳見解析（2）詳見解析．

【解析】

（1）①可取，說明函數是“依附函數”； ②對于任意正數，取，此時關于的方程無解，說明不是“依附函數”；

（2）先證明必要性，再證明充分性，即得證.

（1）①可取，則對任意，存在，使得成立，

（說明：可取任意正數，則）

∴是“依附函數”，

②對于任意正數，取，則，

此時關于的方程無解，∴不是“依附函數”．

（2）必要性：（反證法）假設，

∵的值域為，∴存在定義域內的，使得，

∴對任意正數，關于的方程無解，

即不是依附函數，矛盾，

充分性：假設，取，

則對定義域內的每一個值，由，可得，

而的值域為，

∴存在定義域內的，使得，即成立，

∴是“依附函數”．