Question

已知函數f（x）=a^x-a+1（a＞0且a≠1），恒過定點（2，2）．
（1）求實數a；
（2）在（1）的條件下，將函數f（x）的圖象向下平移1個單位，再向左平移a個單位后得到函數g（x），設函數g（x）的反函數為h（x），直接寫出h（x）的解析式；
（3）對于定義在（0，4）上的函數y=h（x），若在其定義域內，不等式[h（x）+2]²＞h（x）m-1恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于函數f（x）=a^x-a+1（a＞0且a≠1）恒過定點（2，2）．可得a^2-a+1=2，解出即可．
（2）利用平移變換的法則“左加右減，上加下減”即可得出g（x）=2^x，再利用同底的指數函數和對數函數互為反函數，即可得出．
（3）(log2x+2)2＞mlog2x-1在（0，4）恒成立，設t=log₂x（0＜x＜4）且t＜2，可得（t+2）²＞tm-1即：t²+（4-m）t+5＞0，在t＜2時恒成立．
令g（t）=t²+（4-m）t+5，利用二次函數的圖象與性質可得

m-2 2 ≤2 △=(4-m)2-20＜0

，或

m-2 2 ＞2 g(2)=17-2m≥0

解出即可．

解答：解：（1）∵函數f（x）=a^x-a+1（a＞0且a≠1），恒過定點（2，2）．
∴a^2-a+1=2，化為a^2-a=1．
∴2-a=0，解得a=2．
（2）∵f（x）=2^x-2+1，將函數f（x）的圖象向下平移1個單位，得到y=2^x-2，再向左平移2個單位后得到函數g（x）=2^x，
∴g（x）=2^x
∴h（x）=log₂x（x＞0）．
（3）∵(log2x+2)2＞mlog2x-1在（0，4）恒成立，
∴設t=log₂x（0＜x＜4）且t＜2，可得（t+2）²＞tm-1即：t²+（4-m）t+5＞0，在t＜2時恒成立．
令g（t）=t²+（4-m）t+5，
∴

m-2 2 ≤2 △=(4-m)2-20＜0

，或

m-2 2 ＞2 g(2)=17-2m≥0

解得4-2

5

＜m≤8．或8＜m≤

17

2

．
綜上可得：m的取值是4-2

5

＜m≤

17

2

．

點評：本題綜合考查了指數函數與對數函數的性質、平移變換、換元法、二次函數的圖象與性質等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．