Question

已知向量

OP

=( 2cos(

π

2

+x) ， -1 )，

OQ

=( -sin(

π

2

-x) ， cos2x )，定義f（x）=

OP

•

OQ

．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并求其單調(diào)區(qū)間；
（2）在銳角△ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為a、b、c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)f（x）后，利用兩角和的余弦函數(shù)公式及兩角差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由f（A）=1，把x=A代入（1）求出的f（x）得到sin（2A-

π

4

）的值，然后由A的范圍求出2A-

π

4

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)，利用三角形的面積公式，由b，c和sinA的值即可求出△ABC的面積．

解答：解：（1）由題意得：
f（x）=-2cos（

π

2

+x）sin（

π

2

-x）-cos2x
=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得：-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，
所以f（x）的遞增區(qū)間為[ -

π

8

+kπ ，

3π

8

+kπ ]k∈N，
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，解得：

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ，
所以f（x）的遞減區(qū)間為[

3π

8

+kπ ，

7π

8

+kπ ]k∈N；
（2）由f（A）=1，得到

2

sin(2A-

π

4

)=1，即sin(2A-

π

4

)=

2

2

，
由0＜A＜

π

2

，得到2A-

π

4

∈(-

π

4

，

3π

4

)，
所以2A-

π

4

=

π

4

?A=

π

4

，
故S=

1

2

bcsinA=

1

2

×8×sin

π

4

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，掌握正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，靈活運(yùn)用三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．