Question

（本題滿分15分）
函數，其中。
（1）若函數在其定義域內是單調函數，求的取值范圍；
（2）若對定義域內的任意，都有，求的值；
（3）設，。當時，若存在，
使得，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）。由題設，在內恒成立，或在內恒成立。
若，則，即恒成立，顯然在內的最大值為，所以，。
若，則，顯然該不等式在內不恒成立。
綜上，所求的取值范圍為。
（2）由題意，是函數的最小值，也是極小值。因此，，解得。經驗證，符合題意。
（3）由（1）知，當時，在內單調遞增，從而在上單調遞增，因此，在上的最小值，最大值
。
，由知，當時，，因此，在上單調遞減，在上的最小值，最大值
，因，所以。
①若，即時，兩函數圖象在上有交點，此時
顯然滿足題設條件。
②若，即時，的圖象在上，的圖象在下，只需，即，即，
解得。
綜上，所求實數的取值范圍為。

略