Question

如圖，EP交圓于E、C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.
（1）求證：AB為圓的直徑；
（2）若AC=BD，求證：AB=ED.

Answer 1

（1）詳見解析；（2） 詳見解析.

解析試題分析：（1）因為PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD為切線，故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,從而∠BDA=∠PFA.由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直徑.（2）連接BC，DC.由于AB是直徑，故∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，從而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是Rt△BDA與∠DAB=∠CBA.又因為∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB.由于ED是直徑，即可得出結論.
（1）因為PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.
由于PD為切線，故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,從而∠BDA=∠PFA.
由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直徑.
（2）連接BC，DC.

由于AB是直徑，故∠BDA=∠ACB=90°，
在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，
從而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是Rt△BDA與∠DAB=∠CBA.
又因為∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB.
由于ED是直徑，由（1）得ED=AB.
考點：1. 圓周角定理；2.與圓有關的比例線段．