Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2|x﹣a|（a∈R）．
（1）若函數f（x）為偶函數，求a的值；
（2）當a＞0時，若對任意的x∈[0，+∞），不等式f（x﹣1）≤2f（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數y=f（x）為偶函數可知，

對任何x都有f（﹣x）=f（x），

得：（﹣x）2﹣2|﹣x﹣a|=x2﹣2|x﹣a|，

即|x+a|=|x﹣a|對任何x恒成立，

平方得：4ax=0對任何x恒成立，

而x不恒為0，則a=0；

（2）解：將不等式f（x﹣1）≤2f（x），

化為（x﹣1）2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|，

即 4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1（*）對任意x∈[0，+∞）恒成立，

1）當0≤x≤a 時，將不等式（*）可化為 x2+4x+1﹣2a≥0，

對0≤x≤a上恒成立，則g（x）=x2+4x+1﹣2a 在（0，a]為單調遞增，

只需g（x）min=g（0）=1﹣2a≥0，得0＜a≤ ；

2）當 a＜x≤a+1時，將不等式（*）可化為x2﹣4x+1+6a≥0，

對a＜x≤a+1上恒成立，由（1）可知0＜a≤ ，

則h（x）=x2﹣4x+1+6a 在（a，a+1]為單調遞減，

只需h（x）min=h（a+1）=a2+4a﹣2≥0 得：a≤﹣ ﹣2或a≥ ﹣2，

即： ﹣2≤a≤ ；

3）當 x＞a+1時，將不等式（*）可化為x2+2a﹣3≥0對x＞a+1恒成立

則t（x）=x2+2a﹣3 在（a+1，+∞） 為單調遞增，

由（2）可知 ﹣2≤a≤ 都滿足要求．

綜上：實數的取值范圍為： ﹣2≤a≤ ．

【解析】（1）由偶函數的定義，化簡整理，由恒成立思想可得a=0；（2）將不等式f（x﹣1）≤2f（x），化為（x﹣1）2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|，即 4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1對任意x∈[0，+∞）恒成立，對x討論：（1）當0≤x≤a時，（2）當a＜x≤a+1時，（3）當x＞a+1時，去掉絕對值，由二次函數的最值求法，可得最小值，解不等式即可得到a的范圍．