Question

（2013•遼寧）設函數f（x）滿足x2f′(x)+2xf(x)=

ex

x

，f（2）=

e2

8

，則x＞0時，f（x）（　　）

A．有極大值，無極小值

B．有極小值，無極大值

C．既有極大值又有極小值

D．既無極大值也無極小值

Answer 1

分析：先利用導數的運算法則，確定f（x）的解析式，再構造新函數，確定函數的單調性，即可求得結論．

解答：解：∵函數f（x）滿足x2f′(x)+2xf(x)=

ex

x

，
∴[x2f(x)]′=

ex

x

∴x＞0時，x2f(x)=

∫

+∞ 0

ex

x

dx
∴f(x)=

∫ +∞ 0 ex x dx

x2

∴f′(x)=

ex-2 ∫ +∞ 0 ex x dx

x3

令g（x）=ex-2

∫

+∞ 0

ex

x

dx，則g′(x)=ex-

2ex

x

=ex(1-

2

x

)
令g′（x）=0，則x=2，∴x∈（0，2）時，g′（x）＜0，函數單調遞減，x∈（2，+∞）時，g′（x）＞0，函數單調遞增
∴g（x）在x=2時取得最小值
∵f（2）=

e2

8

，∴g（2）=e2-2×4×

e2

8

=0
∴g（x）≥g（2）=0
∴f′(x)=

ex-2 ∫ +∞ 0 ex x dx

x3

≥0
即x＞0時，f（x）單調遞增
∴f（x）既無極大值也無極小值
故選D．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．